Gli "Elementi" di Euclide

Dopo le scoperte di Pitagora, ci fu Euclide, autore di un'opera costituita da 13 libri intitolata "Elementi", dove troviamo tutta la matematica greca ovvero costruzioni di oggetti geometrici, attraverso la riga e il compasso, e dimostrazioni di teoremi geometrici.

Nel primo libro per esempio si riporta la costruzione del triangolo equilatero:

• si traccia con la riga un lato;
• si punta il compasso a una delle due estremità con apertura pari alla lunghezza del lato e si traccia un arco di circonferenza;
• poi si fa lo stesso puntando il compasso all'altra estremità;
• unire con la riga il punto in cui i due archi si intersecano con i due estremi del lato.

In questa opera comunque sono presenti altre costruzioni come quella del quadrato, dell'esagono o del pentagono.

Per quest'ultimo si richiede la sezione aurea.

Questa sezione si può ottenere considerando un rettangolo dove è costruito sul suo lato minore anche un quadrato.

Se noi eliminiamo il quadrato otterremo un altro rettangolo simile a quello di partenza e questo fenomeno di autosomiglianza è quello che caratterizza le sezioni auree.

Per quanto riguarda le dimostrazioni troviamo quella del teorema di Pitagora dove possiamo notare il percorso che Euclide ha fatto per risalire ai famosi concetti matematici che permettono di dimostrare questo teorema.

Questi concetti sono i famosi assiomi (affermazioni non dimostrate) di Euclide:

• tra due punti passa una sola retta cioè che solo attraverso la riga si possono collegare due punti;
• ogni segmento si può estendere in una direzione o nell'altra;
• è sempre possibile costruire una circonferenza di centro e raggio qualunque;
• uguaglianza di tutti gli angoli retti;
• assioma delle parallele: se prendiamo una retta e un punto fuori di essa, c'è sempre una parallela alla retta che passa per quel punto.

Per quanto riguarda l'aritmetica, in questa opera troviamo due importanti teoremi riferiti ai numeri primi (numeri divisibili per 1 e per se stessi):

• infinità dei numeri primi cioè Euclide afferma che, dato un numero qualunque di numeri primi, è sempre possibile trovare un numero primo maggiore di questi e quindi sono infiniti;
• scomposizione unica in fattori primi: se prendiamo come fattori di un numero (cioè numeri che dividono un altro numero) solo dei numeri primi, allora la scomposizione di quel numero in fattori primi è unica.