La matematica frattale e la geometria presente in natura

Un paio di giorni fa su consiglio di un amico ho conosciuto una nuova parte della matematica che sinceramente non conoscevo, la matematica frattale.

Il frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse e quindi ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale. 

Secondo alcuni biologi, come Brian J. Enqvist, il mondo naturale non è causale e caotico, anzi segue uno schema ben preciso che può essere descritto attraverso i frattali e, grazie ad essi, l'uomo potrebbe capire a fondo la natura.

Infatti nel mondo naturale ci sono già molti esempi di frattali, come la struttura delle venature di una foglia che riflette quella dei rami dell'albero, ma anche analizzando una semplice radiografia di un braccio possiamo notare la presenza di schemi geometrici: infatti, ponendo l'attenzione sugli arti superiori, si individuano un osso nel braccio collegato a due ossa nell'avambraccio, otto ossa nel polso, cinque nella mano ed infine tre ossa per ogni dito.

Disponendo questi numeri in ordine crescente otteniamo sorprendentemente la parte iniziale della successione di Fibonacci, ovvero una serie di numeri in cui ognuno è la somma dei due numeri che lo precedono.

Se si riportano questi numeri su un grafico si ottiene una spirale (video costruzione spirale), la cui curva ad arco è presente frequentemente in natura, come la struttura di una pigna o il guscio del nautilus.

Inoltre se prendiamo un qualsiasi numero della serie di Fibonacci e lo si divide per quello precedente otterremo sempre lo stesso rapporto pari a 1.618; questa grandezza è conosciuta in matematica con il nome di sezione aurea.

Anche questo elemento matematico si ripete nella natura, per esempio la differenza di lunghezza tra l'avambraccio e la mano è pari alla sezione aurea oppure nel nostro DNA il rapporto tra la lunghezza di un solo giro di elica e l'ampiezza della molecola è proprio pari a 1.618.

Quindi l'obiettivo degli scienziati è proprio quello di individuare uno schema o un modello di funzionamento in natura che aiuterebbe l'umanità, non solo a comprendere a fondo il mondo naturale, ma anche a prevedere qualcosa nel mondo.

fonte: it.wikipedia.org

PhotoMath: l'app per risolvere equazioni con una foto

Avete problemi in matematica? Non sapete effettuare delle operazioni tra frazioni? Non riuscite a risolvere una equazione?

Ecco la soluzione: PhotoMath. Si tratta di una applicazione che riguarda il mondo della matematica e che, per ora, è disponibile per WindowsPhone ed iOS, ma nel 2015 arriverà una versione anche per Android.

Questa app ha sorpreso tutti, poichè, attraverso l'utilizzo di una fotocamera e di una calcolatrice complessa, riesce a fornirci in poco tempo il risultato di un problema o di una equazione.

E non è tutto perchè PhotoMath è in grado anche di mostrarci lo svolgimento del problema, aiutandoci a comprendere meglio il mondo della matematica.

Ecco un breve video di presentazione:

fonte: www.link2universe.net

Oilproject: la scuola online e gratis per tutti

Questa mattina navigavo sul web e ho scoperto un sito davvero interessante che permette a tutti di imparare alcuni concetti di diverse materie.

Si tratta del sito Oilproject in cui ognuno segue delle lezioni, fa degli esercizi, richiedendo anche alcuni chiarimenti ad altri iscritti.

La cosa bella è che il tutto può essere fatto completamente gratis.

Una volta entrati nel sito, o con un account di Facebook o di Google+ oppure iscrivendosi con un nuovo profilo oilproject, noi possiamo liberamente scegliere la materia di cui vogliamo imparare le basi.

Le materie sono varie, ovvero biologia, chimica, filosofia, fisica, economia, letteratura italiana, inglese, matematica, scienze della Terra e storia, e, dopo aver inserito i propri dati personali, si passa alla scelta del corso che vogliamo seguire.

Con il termine corso si intende un insieme di lezioni, o meglio video, della materia scelta, che si conclude poi con degli esercizi.

Se il test viene superato noi otteniamo dei punti, che possono essere aumentati anche rispondendo ai dubbi di altri utenti nella community del sito.

Tutto ciò servirà per migliorare la nostra affidabilità nel server di Oilproject dove diverse menti si uniscono per promuovere la cultura e la conoscenza, qualcosa che al giorno d'oggi raramente viene fatto.

14 marzo - La festa del Pi Day

Oggi 14 marzo è un giorno molto importante per i matematici perchè festeggiano il Pi Day ovvero il giorno del Pi Greco π. 

Per chi non lo sapesse π è quella famosa costante matematica utilizzata per esempio nella geometria piana come il rapporto tra la circonferenza e il diametro del cerchio. 

La costante è conosciuta anche con il nome di costante di Archimede o costante di Ludolph e viene festeggiata il 14 marzo perchè nel sistema anglosassone questa data viene scritta 3/14 proprio come le cifre del Pi Greco = 3,14. 

In realtà il 3,14 è un numero approssimato e le sue prime 64 cifre decimali sono:
3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592... 

Questo giorno fu festeggiato per la prima volta nel 1988 a San Francisco grazie al fisico americano Larry Shaw, e da allora l’uomo viene soprannominato il principe del Pi Greco. 

La festa consisteva nel vendere delle torte alla frutta sulle quali erano scritte le cifre decimali della costante matematica. 

Per chi fosse interessato oggi sono stati organizzati molti eventi in Italia per il Pi Day, per esempio ad Udine ci sarà la "Sfida all’ultima cifra", dove la gente cercherà di dire a memoria tutte le cifre della costante, e "A Spasso con il Pi Greco" ovvero una passeggiata, lunga 3 km, nella città dove verranno mostrati diversi concetti matematici.

Le scoperte di Isaac Newton

Dopo la morte di Galileo, si affermò un altro grande scienziato, Isaac Newton, che cambiò la matematica, la fisica e l'ottica.

Vediamo quali sono state le sue scoperte più grandi.

1) Ottica

Tutto iniziò con l'acquisto di un prisma.

Newton decise di realizzare un piccolo foro nelle persiane della sua camera per far passare un raggio di luce che colpisse direttamente il prisma.

Notò che la luce in uscita dall'oggetto formava una successione di colori (spettro) che fu divisa dallo scienziato in sette colori diversi.

In seguito comprò un secondo prisma e fece il seguente esperimento:

• raggio di luce passa nel primo prisma, risultato: spettro;
• spettro passa nel secondo prisma.

Il risultato fu una luce bianca cioè ottenne il fenomeno di scomposizione e ricomposizione della luce.

Quindi capì che il bianco non era un colore ma l'unione di tutti gli altri.

2) Fisica

Utilizzando le tre leggi di Keplero, capì che esisteva una forza che teneva i pianeti vincolati al Sole e che era inversamente proporzionale al quadrato della distanza.

Così fece i primi calcoli e sviluppò un metodo per misurare l'accelerazione di gravità che oggi tutti sappiamo essere pari a 9.8 m/sec quadrato.

Inoltre prese in considerazione la distanza Luna-Terra che, secondo gli antichi, era pari a 60 raggi terrestri.

Ricordando che la forza decresce con il quadrato della distanza, Newton ottenne che la gravità presente sulla Terra era 3600 volte più grande di quella presente sulla Luna.

Inoltre affermò che il moto della Luna attorno alla Terra dipendeva da due fattori: la gravità (forza che attira il satellite verso il pianeta) e il principio di inerzia ovvero la tendenza di un corpo a muoversi di moto rettilineo uniforme se non c'è qualcosa che gli fa cambiare direzione.

3)Matematica

Tra il 1664 e il 1666 Newton sviluppò, insieme a Leibniz, un nuovo strumento matematico, il calcolo infinitesimale.

Loro trovarono un legame tra l'operazione di derivazione (serve per calcolare le tangenti alla curve) e quella di integrazione (serve per calcolare le aree individuate dalle curve) cioè capirono che erano in realtà l'una l'inverso dell'altra.

Questa scoperta fu chiamata "Il teorema fondamentale del calcolo infinitesimale".

Concludo dicendo che Newton oggi è considerato, da molti matematici e fisici, uno dei più grandi scienziati della storia come Archimede ed Einstein.

Gli "Elementi" di Euclide

Dopo le scoperte di Pitagora, ci fu Euclide, autore di un'opera costituita da 13 libri intitolata "Elementi", dove troviamo tutta la matematica greca ovvero costruzioni di oggetti geometrici, attraverso la riga e il compasso, e dimostrazioni di teoremi geometrici.

Nel primo libro per esempio si riporta la costruzione del triangolo equilatero:

• si traccia con la riga un lato;
• si punta il compasso a una delle due estremità con apertura pari alla lunghezza del lato e si traccia un arco di circonferenza;
• poi si fa lo stesso puntando il compasso all'altra estremità;
• unire con la riga il punto in cui i due archi si intersecano con i due estremi del lato.

In questa opera comunque sono presenti altre costruzioni come quella del quadrato, dell'esagono o del pentagono.

Per quest'ultimo si richiede la sezione aurea.

Questa sezione si può ottenere considerando un rettangolo dove è costruito sul suo lato minore anche un quadrato.

Se noi eliminiamo il quadrato otterremo un altro rettangolo simile a quello di partenza e questo fenomeno di autosomiglianza è quello che caratterizza le sezioni auree.

Per quanto riguarda le dimostrazioni troviamo quella del teorema di Pitagora dove possiamo notare il percorso che Euclide ha fatto per risalire ai famosi concetti matematici che permettono di dimostrare questo teorema.

Questi concetti sono i famosi assiomi (affermazioni non dimostrate) di Euclide:

• tra due punti passa una sola retta cioè che solo attraverso la riga si possono collegare due punti;
• ogni segmento si può estendere in una direzione o nell'altra;
• è sempre possibile costruire una circonferenza di centro e raggio qualunque;
• uguaglianza di tutti gli angoli retti;
• assioma delle parallele: se prendiamo una retta e un punto fuori di essa, c'è sempre una parallela alla retta che passa per quel punto.

Per quanto riguarda l'aritmetica, in questa opera troviamo due importanti teoremi riferiti ai numeri primi (numeri divisibili per 1 e per se stessi):

• infinità dei numeri primi cioè Euclide afferma che, dato un numero qualunque di numeri primi, è sempre possibile trovare un numero primo maggiore di questi e quindi sono infiniti;
• scomposizione unica in fattori primi: se prendiamo come fattori di un numero (cioè numeri che dividono un altro numero) solo dei numeri primi, allora la scomposizione di quel numero in fattori primi è unica.

Le scoperte di Pitagora

Un grande matematico è stato sicuramente Pitagora che ha fatto due scoperte molto importanti: il teorema di Pitagora e l'introduzione di due nuovi solidi regolari, oltre a quelli scoperti dagli egiziani, dodecaedro ( dodici facce pentagonali) e l'icosaedro ( venti facce triangolari).

Tutti sappiamo che il teorema di Pitagora riguarda i triangoli rettangoli ovvero quei triangoli in cui uno degli angoli è un angolo retto.

Questo teorema afferma che la somma dei quadrati dei due lati perpendicolari tra loro è uguale al quadrato dell'ipotenusa.

Il teorema di Pitagora fu rappresentato dai greci in maniera geometrica ovvero costruirono su ogni lato del triangolo rettangolo dei quadrati e scoprirono che l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

Geometria: la nascita dei primi teoremi

Il primo vero teorema della geometria è stato quello di Talete.

Lui cercò di risolvere due problemi trovando un metodo per misurare:

• l'altezza degli obelischi;
• l'altezza delle piramidi.

Per il primo trovò diverse soluzioni sfruttando l'ombra degli obelischi.

Una prima soluzione si ottenne quando il Sole era 45° perchè in quel momento l'altezza dell'obelisco era uguale all'ombra che produceva.

Quindi bastava misurare l'ombra per conoscere l'altezza.

Una seconda soluzione si trovò anche quando il Sole non era a 45° e Talete ebbe l'idea di piantare un bastone di altezza nota.

In questo modo si potevano costruire due triangoli: uno formato dal bastone e dalla sua ombra, mentre l'altro dall'obelisco e dall'ombra che produceva.

Questi due triangoli erano simili perchè avevano gli stessi angoli.

Gli elementi noti erano tre: l'ombra dell'obelisco, l'altezza e l'ombra del bastone.

Attraverso le proporzioni tra i lati, Talete ricavò l'incognita del problema: l'altezza dell'obelisco.

Il secondo problema, invece, era più complicato perchè l'altezza della piramide si trovava all'interno e poi non si poteva misurare l'ombra che produceva.

Comunque alla fine Talete trovò anche per questo problema la soluzione sfruttando il momento in cui il Sole era a 45° ed era allineato con i lati della piramide.

La nascita dell'aritmetica e della geometria

Quando andavo a scuola le materie che preferivo erano l'aritmetica e la geometria e mi piacerebbe raccontarvi come sono nate.

Tutto inizia dall'Egitto dove le civiltà si sviluppavano lungo il Nilo, un fiume che regolarmente inondava i campi.

Quando le acque ritornavano nel letto del Nilo, per la gente era molto difficile ricostruire i confini dei campi.

Però alla fine si trovò una tecnica da cui nacque appunto la geometria, parola greca che significa misura della terra.

Inoltre gli egiziani amavano molto le figure geometriche e furono i primi a sviluppare il concetto di figura regolare.

Scoprirono ben 3 solidi regolari:

• tetraedro ovvero una piramide con le facce e la base tutte triangolari;
• cubo, usato soprattutto per realizzare gli altari dei templi;
• ottaedro ovvero 8 facce triangolari.

Sappiamo tutti che l'aritmetica, invece, serve per contare e si sviluppò soprattutto tra gli assiro-babilonesi e gli indiani.

I primi ci hanno lasciato moltissime tavolette scritte che rivelano i primi indizi della capacità di contare, mentre i secondi erano soprattutto commercianti.

Questi segnavano i numeri con due colori differenti, nero e rosso, a seconda che le cifre fossero dei crediti o debiti.

La scoperta che fecero fu quella di capire che c'era qualcosa che separava i numeri negativi da quelli positivi, ovvero il numero 0.

Successivamente le civiltà, utilizzando queste due nuove materie, iniziarono a risolvere i primi problemi sia nel piano che nello spazio.

Per esempio un problema nel piano fu quello di Menone.

Praticamente si chiede ad uno schiavo come raddoppiare un quadrato.

L'uomo risponde subito: "raddoppiando i lati".

Questo non è corretto perchè se raddoppiamo i lati quadruplichiamo l'area del quadrato.

La risposta corretta è la diagonale del quadrato cioè costruire un nuovo quadrato che ha per lato la diagonale del quadrato di partenza.

In questo modo l'area del nuovo quadrato sarà esattamente il doppio di quello di partenza.

Un problema analogo si ha anche nello spazio ed è stato raccontato dai greci: ad Atene scoppiò una epidemia di peste e l'oracolo di Apollo affermò che il Dio voleva che l'altare cubico nel suo tempio fosse raddoppiato.

Purtroppo gli ateniesi sbagliarono perchè raddoppiarono i lati del cubo e quindi si ottenne un volume 8 volte maggiore di quello di partenza.

Per questo errore Apollo li punì ovvero la peste non cessò.

Quindi abbiamo visto come queste due materie sono nate e come si sono sviluppate negli anni successivi.

Nei prossimi articoli, invece, vi parlerò della nascita dei primi teoremi.